Giải bài 29 trang 206 SGK giải tích nâng cao 12

Áp dụng khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$\begin{aligned} z= {{\left( 1+i \right)}^{19}}&=C_{19}^{0}+iC_{19}^{1}+{{i}^{2}}C_{19}^{2}+...+{{i}^{18}}C_{19}^{18}+{{i}^{19}}C_{19}^{19} \\ & =\left( C_{19}^{0}+{{i}^{2}}C_{19}^{2}+...+{{i}^{16}}C_{19}^{16}+{{i}^{18}}C_{19}^{18} \right)+\left( iC_{19}^{1}+{{i}^{3}}C_{19}^{3}+...+{{i}^{17}}C_{19}^{17}+{{i}^{19}}C_{19}^{19} \right) \\ \end{aligned}$

Suy ra phần thực của $z$ là $C_{19}^{0}-C_{19}^{2}+C_{19}^{4}-...+C_{19}^{16}-C_{19}^{18}$

Mặt khác

$\begin{aligned} {{\left( 1+i \right)}^{19}}&={{\left[ \sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right) \right]}^{19}} \\ & =\sqrt{{{2}^{19}}}\left( \cos \dfrac{19\pi }{4}+i\sin \dfrac{19\pi }{4} \right) \\ & =\sqrt{{{2}^{19}}}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ & =-{{2}^{9}}+{{2}^{9}}i \\ \end{aligned}$

Vậy $C_{19}^{0}-C_{19}^{2}+...+C_{19}^{16}-C_{19}^{18}=-{{2}^{9}}=-512$.

Ghi nhớ

Khai triển Niu-tơn

${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}b^2+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$

Công thức Moa-vrơ

${{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)$