Giải bài 26 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12

a) Ta có

$\begin{aligned} {{\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)}^{2}}&={{\cos }^{2}}\varphi +2i\sin \varphi .\cos \varphi -{{\sin }^{2}}\varphi \\ & =\cos 2\varphi +2i\sin 2\varphi \\ \end{aligned}$

Vậy số phức $\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$ có hai căn bậc hai là $\pm \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$.

Theo cách giải trong bài học để tính căn bậc hai của $\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$ ta quy về giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\cos 2\varphi \\ & 2xy=\sin 2\varphi \\ \end{aligned} \right.$

Trong đó $z=x+yi$ là các căn bậc hai cần tìm.

b) Ta có

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \left( -\dfrac{\pi }{4} \right)+i\sin \left( -\dfrac{\pi }{4} \right)$

Theo câu a) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)$ có hai căn bậc hai là $\pm \left( \cos \left( -\dfrac{\pi }{8} \right)+i\sin \left( -\dfrac{\pi }{8} \right) \right)=\pm \left( \cos \dfrac{\pi }{8}-i\sin \dfrac{\pi }{8} \right)$.

Mà $\cos \dfrac{\pi }{8}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$\sin\dfrac{\pi }{8}=\sqrt{\dfrac{1-\cos \dfrac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là $\pm \dfrac{1}{2}\left( \sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}} \right)$.

Theo cách giải trong bài học:

Giả sử $z=x+yi$ là các căn bậc hai cần tìm. Khi đó

$\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & 2xy=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 8{{x}^{4}}-4\sqrt{2}{{x}^{2}}-1=0 \\ & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4x} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \\ & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4x} \end{aligned} \right.$

Suy ra các nghiệm của hệ phương trình là $\left( \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right),\left( -\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)$.

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.