Giải bài 25 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12

a) $i+1$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ khi và chỉ khi

${{\left( 1+i \right)}^{2}}+b\left( 1+i \right)+c=0 \\ \Leftrightarrow 2i+b+bi+c=0 \\ \Leftrightarrow \left( b+c \right)+\left( 2+b \right)i=0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b+c=0 \\ & 2+b=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b=-2 \\ & c=2 \\ \end{aligned} \right.$

b) $i+1$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c=0$ khi và chỉ khi

${{\left( 1+i \right)}^{3}}+a{{\left( 1+i \right)}^{2}}+b\left( 1+i \right)+c=0 \\ \Leftrightarrow 1+3i-3-i+2ai+b+bi+c=0 \\ \Leftrightarrow \left( b+c-2 \right)+\left( 2a+b+2 \right)i=0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b+c-2=0 \\ & 2a+b+2=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b+c=2 \\ & 2a+b=-2\, \\ \end{aligned} \right.\left( I \right)$

$z=2$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c=0$ khi và chỉ khi

$8+4a+2b+c=0\,\left( II \right)$

Từ (I) và (II) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{aligned} & b+c=2 \\ & 2a+b=-2\, \\ & 4a+2b+c=-8 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-4 \\ & b=6 \\ & c=-4 \\ \end{aligned} \right.$