Giải bài 22 trang 162 SGK giải tích nâng cao 12

a) $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}$

Đặt $u=1-x\Rightarrow du=-dx$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{1}^{0}{f\left( u \right)\left( -du \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx} \\ $

b) $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+f\left( -x \right) \right]dx}$

Ta có $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$

Xét $\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)dx}$

Đặt $u=-x\Rightarrow du=-dx$

$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{0}{f\left( -u \right)\left( -du \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( -u \right)du}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( -x \right)dx} \\ $

Vậy $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( -x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+f\left( -x \right) \right]dx}$