Giải bài 17 trang 195 SGK giải tích nâng cao 12

Gợi ý: Số phức ${w}=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là căn bậc hai của số phức $z\Leftrightarrow {w}^{2}=z$.

Ta có ${w}^{2}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$

a) $z=-i$

${w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=-1\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2b}$ thay vào (1) ta được:

$\dfrac{1}{4{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{4}}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow b=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Với $b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Với $b=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i,{{w}_{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i$ .

b) $z=4i$

${w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=4\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow a=\dfrac{2}{b}$ thay vào (1) ta được:

$\dfrac{4}{{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{4}}=4\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{2}$

Với $b=\sqrt{2}\Rightarrow a=\sqrt{2}$

Với $b=-\sqrt{2}\Rightarrow a=-\sqrt{2}$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,{{w}_{2}}=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$ .

c) $z=-4=4i^2$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=2i,{{w}_{2}}=-{2}i$ .

d) $z=1+4\sqrt{3}i$

${w}^{2}=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=1\,\,\left( 1 \right) \\ & 2ab=4\sqrt{3}\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow a=\dfrac{2\sqrt{3}}{b}$ thay vào (1) ta được:

$\dfrac{12}{{{b}^{2}}}-{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow {{b}^{4}}+{{b}^{2}}-12=0\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{3}$

Với $b=\sqrt{3}\Rightarrow a=2$

Với $b=-\sqrt{3}\Rightarrow a=-2$

Vậy số phức $z$ có hai căn bậc hai là ${{w}_{1}}=2+\sqrt{3}i,{{w}_{2}}=-2-\sqrt{3}i$ .