Giải bài 15, 16 trang 191 SGK giải tích nâng cao 12

15. a) Trong mặt phẳng phức gốc O, G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

$\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)$

Mà $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$.

Vậy G biểu diễn số phức $\dfrac{1}{3}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)$.

b) Vì $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|$ nên ta có $OA=OB=OC$.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ABC đều thì $G\equiv O$ hay ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$

16. Gợi ý: Xét các tỉ số $\dfrac{OA'}{OA},\dfrac{OB'}{OB},\dfrac{A'B'}{AB}$ để suy ra tính đồng dạng của hai tam giác.

Do z không là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z.

Với $z'\ne 0$, xét các điểm A', B' theo thứ tự biểu diễn các số $z',zz'$ thì ta có

$\dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{\left| z' \right|}{1}=\left| z' \right|\\\dfrac{OB'}{OB}=\dfrac{\left| zz' \right|}{\left| z \right|}=\left| z' \right|\\\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{\left| zz'-z' \right|}{\left| z-1 \right|}=\left| z' \right|$

Vậy tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác OAB (tỉ số đồng dạng bằng $\left| z' \right|$).