Giải bài 14 trang 191 SGK giải tích nâng cao 12

a) Ta có:

$\begin{aligned} \dfrac{z+i}{z-i}&=\dfrac{x+yi+i}{x+yi-i} \\ & =\dfrac{\left[ x+\left( y+1 \right)i \right]\left[ x-\left( y-1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}i \\ \end{aligned}$

Suy ra số phức có phần thực là $\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}},$ phần ảo là $\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$.

b) $\dfrac{z+i}{z-i}$ là số thực dương khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow {{y}^{2}}-1>0 \\ \Leftrightarrow {{y}^{2}}>1 \\ \Leftrightarrow \left| y \right|>1$

Vậy $z=yi$, với y là số thực, $\left| y \right|>1$.

Gọi I, J lần lượt là các điểm biểu thị số phức $i$ và $-i$ thì tập hợp cần tìm là các điểm nằm ngoài đoạn IJ.