Giải bài 10, 11 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12

10. Ta có:

$\begin{aligned} \left( 1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}} \right)\left( z-1 \right)&=z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{10}}-\left( 1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}} \right) \\ & ={{z}^{10}}-1 \\ \end{aligned}$

Vì $z\ne 1$ nên chia hai vế cho $z-1$ ta được

$1+z+{{z}^{2}}+...+{{z}^{9}}=\dfrac{{{z}^{10}}-1}{z-1}$

11. Gợi ý: Nếu $z=\overline z$ thì $z$ là số thực và nếu $z=-\overline z$ thì $z$ là số ảo

Ta có:

+) $\overline{{{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}=\overline{{{z}^{2}}}+\overline{{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}={{\left( \overline{z} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{\overline{z}} \right)}^{2}}={{\left( \overline{z} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}$

$\Rightarrow {{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}$ là số thực.

+) $\overline{\left( \dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}} \right)}=\dfrac{\overline{z}-z}{{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}+{{z}^{3}}}=-\dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}}$

$\Rightarrow \dfrac{z-\overline{z}}{{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}}$ là số ảo.

+) $\overline{\left( \dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}} \right)}=\dfrac{{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}-{{z}^{2}}}{1+\overline{z}z}=-\dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}}{1+z\overline{z}}$ là số ảo.