Trả lời câu 11 trang 125 – SGK môn Hình học lớp 11
Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a bằng kết quả nào trong các kết quả sau đây?
| (A) \(\dfrac{3a}{2} \) | (B) \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \) |
| (C ) \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \) | (D) \(a\sqrt{2} \) |
Hướng dẫn:
- Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và AD.
- Chứng minh IK là đường vuông góc chung của AD và BC
Xét tứ diện \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh a.
Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của BC và AD.
Ta có: \(IA=ID\) (hai trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau), do đó \(IK\bot AD\)
Tương tự ta có: \( IK\bot BC.\)
Ta có: \(AI=\dfrac{a\sqrt 3}{2}\) đường trung tuyến trong tam giác đều.
\(AK=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)
Vậy \(IK\) là đường vuông góc chung của hai cạnh đối diện AD và BC của tứ diện đều.
Tam giác \(AIK \) vuông tại K nên:
\(\begin{align} & I{{K}^{2}}=A{{I}^{2}}-A{{K}^{2}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\ & \Rightarrow IK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \)
Chọn (B)
