Trả lời câu 10 trang 120 – SGK môn Hình học lớp 11
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA=MB=MC. Từ M kẻ MO vuông góc với mp(ABC).
Các tam giác vuông MOA,MOB,MOC bằng nhau, cho ta OA=OB=OC.
Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
Ngược lại, gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với (ABC)
Lấy một điểm M′∈d, nối M′A,M′B,M′C.
Do M′O chung và OA=OB=OC nên các tam giác vuông M′OA,M′OB,M′OC bằng nhau, cho ta M′A=M′B=M′C.
Tức là điểm M′ cách đều ba đỉnh A,B,C của tam giác ABC.
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tam giác ABC.
