Giải bài 8 trang 120 – SGK môn Hình học lớp 11

Hướng dẫn:

Xác định đường vuông góc chung của hai mặt đường thẳng rồi tính độ dài.

Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của $BC$ và $AD$. 

Ta có:$IA=ID$ (hai trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau), do đó $IK\bot AD$

Tương tự ta có: $IK\bot BC.$

Vậy $IK$ là đường vuông góc chung của hai cạnh đối diện $AD$ và $BC$ của tứ diện đều.

Ta có:

 $AI=\dfrac{a\sqrt 3}{2}$ (độ dài đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a)

$AK=\dfrac{a}{2}$ (K là trung điểm của AD)

Tam giác $AIK$ vuông tại $K$ nên:

$\begin{align} & I{{K}^{2}}=A{{I}^{2}}-A{{K}^{2}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\ & \Rightarrow IK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\ \end{align}$