Giải bài 7 trang 107 – SGK môn Đại số và Giải tích 11

a) Xét hiệu:

$\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=n+1-\dfrac{1}{n+1}-n+\dfrac{1}{n}=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n} \\ & =1-\dfrac{1}{n(n+1)}>0 \\ \end{aligned}$

(vì $\dfrac{1}{n(n+1)}<1$)

Suy ra, ($u_n$) là dãy số tăng.

Vì $u_n > 0$ với mọi $n\in \mathbb N^*$ nên ($u_n$) bị chặn dưới.

($u_n$) không bị chặn trên vì với n lớn vô cùng thì $u_n$ cũng lớn vô cùng.

b) Ta có: ${{u}_{1}}=\sin 1>0;\,{{u}_{2}}=-\sin \dfrac{1}{2}<0;\,{{u}_{3}}=\sin \dfrac{1}{3}>0$

$\Rightarrow {{u}_{1}}>{{u}_{2}};\,{{u}_{2}}<{{u}_{3}}\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số không tăng, không giảm.

Ta có: $|{{u}_{n}}|=\left|\sin\dfrac{1}{n}\right|\le 1\Rightarrow -1\le {{u}_{n}}\le 1$ với mọi $n\in \mathbb N^*$

Vậy ($u_n$) bị chặn.

c) Ta có: $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$. Với $n\ge 1$ thì $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\le \sqrt{2}+1$

Do đó, $0< u_n\le\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\,\,\forall n\ge 1\Rightarrow u_n$ bị chặn.

Ta có: 

$u_{n+1}< u_n \,\,\forall n\in \mathbb N^*\Rightarrow(u_n)$là dãy giảm.