Giải bài 5 trang 37 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Phương pháp:

Giải phương trình $a\cos u+b\sin u=c$

Chia hai vế cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$, sau đó dùng công thức cộng để đưa về phương trình cơ bản.

a) $\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$, ta được:

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\&\Leftrightarrow \cos x\cos \dfrac{\pi }{3}-\sin x\sin \dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & \Leftrightarrow \cos \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)=\cos \dfrac{\pi }{4} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\dfrac{\pi }{3}=-\dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{\pi }{12}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{7\pi }{12}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned}$

b) $3\sin3x-4\cos3x=5$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$, ta được:

$\begin{aligned} & \dfrac{3}{5}\sin 3x-\dfrac{4}{5}\cos 3x=1 \\ & \Leftrightarrow \sin 3x\cos \alpha -\cos 3x\sin \alpha =1 \\ & \Leftrightarrow \sin(3x-\alpha )=1 \\ & \Leftrightarrow 3x-\alpha =\dfrac{\pi }{2}+k2\pi\\& \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\alpha }{3}+\dfrac{k2\pi }{3}\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned}$

(trong đó: $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ và $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$)

c) 

$\begin{aligned} & 2(\sin x+\cos x)=\sqrt{2} \\ & \Leftrightarrow \sin x+\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\sin \dfrac{\pi }{6} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x+\dfrac{\pi }{4}=\pi -\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{\pi }{12}+k2\pi \\ & x=\dfrac{7\pi }{12}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned}$

d) $5 \cos2x+12\sin 2x-13=0$

Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{5^2+12^2}=13$, ta được:

$\begin{aligned} & \dfrac{5}{13}\cos 2x+\dfrac{12}{13}\sin 2x=1 \\ & \Leftrightarrow \cos 2x\cos \alpha +\sin 2x\sin \alpha =1 \\ & \Leftrightarrow \cos (2x-\alpha )=1 \\ & \Leftrightarrow 2x-\alpha =k2\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\alpha }{2}+k\pi \,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned}$

(trong đó: $\sin\alpha=\dfrac{12}{13}$ và $\cos\alpha=\dfrac{5}{13}$)