Giải bài 5 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Ta có: 

$\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{3}}-x_{0}^{3}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{3x_{0}^{2}\Delta x+3{{x}_{0}}{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+{{\left( \Delta x \right)}^{3}}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\left[ 3x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right]=3x_{0}^{2} \\ \end{align}$

a) Ta có: ${{x}_{0}}=-1;\,{{y}_{0}}=-1;\,f'\left( -1 \right)=3$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3$ tại $(-1;-1)$ là:
$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=3\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=3x+2 \\ \end{align}$

b) Điểm có hoành độ bằng $2$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3$ thì có tung độ là $2^3=8$

Vậy tọa độ tiếp điểm là $(2;8)$

Ta có: $x_0=2;\,y_0=8; f’(x_0)=f’(2)=12$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3$ tại $(2;8)$ là:
$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-8=12\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=12x-16 \\ \end{align}$

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra: $f'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 1$

Với $x_0=1$, thì $y_0=1$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3$ tại $(1;1)$ là:

 $\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-1=3\left( x-1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=3x-2 \\ \end{align}$

Với $x_0=-1$, thì $y_0=-1.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3$ tại $(-1;-1)$ là: $y=3x+2$ (như câu a)

Ghi  nhớ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ là: $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$, trong đó: $y_0=f(x_0).$

Vậy để viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại một tiếp điểm, ta phải biết được:

- Tọa độ tiếp điểm.

- Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm.