Giải bài 5 trang 121 – SGK môn Hình học lớp 11

a) Theo giả thiết, ta có: $\left( ABC \right)\bot \left( ADC \right)$ và 

$\left\{ \begin{aligned} & \left( ABC \right)\cap \left( ADC \right)=AC \\ & AB\bot AC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( ADC \right)$

Do đó:$AB\bot AD$ nên AD là hình chiếu vuông góc của BD trên $(ADC)$

Mà $AD\bot DC$

Theo định lý ba đường vuông góc ta có: $BD\bot DC$

Hay tam giác $BDC$ vuông tại $D$.

b) Vì $ABC$ và $BDC$ là các tam giác vuông tại $A$ và  $D$. Lại có $K$ là trung điểm của $BC$ nên 

$\left\{ \begin{aligned} & AK=\dfrac{1}{2}BC \\ & DK=\dfrac{1}{2}BC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AK=DK$

Suy ra tam giác $AKD$ cân tại $K$. Mà I là trung điểm của $AD$ nên $KI\bot AD$ (1)

Mặt khác hai tam giác vuông $BAD$ và $CAD$ có: $\left\{ \begin{aligned} & AD\,\,\text{chung} \\ & AB=DC=a \\ \end{aligned} \right.$

Nên hai tam giác $BAD$ và $CAD$ bằng nhau.

Suy ra $BI=CI$ (hai đường trung tuyến tương ứng)

Do đó, tam giác $BIC$ cân tại I có K là trung điểm $BC$ nên $IK\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IK là đường vuông góc chung của đường thẳng $AD$ và $BC$