Giải bài 5 trang 119 – SGK môn Hình học lớp 11

Hướng dẫn: 

b) Để tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ta xác định đường vuông góc chung của chúng rồi tính độ dài.

c) Quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Ta có:

$\left\{ \begin{aligned} & A'C'\bot B'D' \\ & A'C'\bot DD' \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow A'C'\bot \left( BB'D'D \right)\Rightarrow A'C'\bot DB' \\ \left\{ \begin{aligned} & BC'\bot B'C \\ & BC'\bot DC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC'\bot \left( DCB' \right)\Rightarrow BC'\bot DB'$

Do đó: $\left\{ \begin{aligned} & DB'\bot A'C' \\ & DB'\bot BC' \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow DB'\bot \left( A'C'B \right)$

b) Hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’ có:

$\left\{ \begin{aligned} & BC'//AD' \\ & A'C'//AC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left( BA'C' \right)//\left( ACD' \right)$

Ta có: $DB'\bot \left( BA'C' \right)\Rightarrow DB'\bot \left( D'AC \right)$

Gọi I và H lần lượt là giao điểm của DB’ với D’O và BO’.

Suy ra IH là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (BA’C’) và (D’AC) hay IH là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Trong hình chữ nhật DBB’D’, ta có:

$OD//D'B';OD=\dfrac{1}{2}D'B'$  nên $DI=\dfrac{1}{2}IB'$

và $B'H//DB;B'H=\dfrac{1}{2}DB$ nên  $B'H=\dfrac{1}{2}DH$

Do vậy $DI=IH=H{B}'=\dfrac{1}{3}D{B}'\Rightarrow IH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
c) Ta có: 

$BC'//AD'\Rightarrow BC'//\left( D'AC \right) \\ \Rightarrow d\left( BC';CD' \right)\\=d\left( BC';\left( D'AC \right) \right)\\=d\left( \left( D'AC \right);\left( BA'C' \right) \right) \\ \\ =\dfrac{a\sqrt 3}{3}$