Giải bài 4 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Sử dụng định lý 1 SGK trang 150: Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại $x=0$ ta chứng minh hàm số gián đoạn tại $x=0$.

Ta có:
$\begin{align} & \lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,{{(x-1)}^{2}}=1 \\ & \lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,(-{{x}^{2}})=0 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,f(x)\ne \lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,f(x) \\ \end{align}$

Nên hàm số gián đoạn tại $x=0$.

Vậy hàm số $y=f(x)$ không có đạo hàm tại $x=0$.

Tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x=2$ bằng định nghĩa:

$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f(2+\Delta x)-f\left( 2 \right)}{\Delta x}\\= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{{{\left( 1+\Delta x \right)}^{2}}-1}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{2\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\left( 2+\Delta x \right)=2$

Vậy đạo hàm cả hàm số $y=f(x)$ tại $x=2$ là $2$.