Giải bài 4 trang 121 – SGK môn Hình học lớp 11

a) Vì tam giác $BCD$ có $CB=CD; \widehat{BCD}={{60}^{o}}$

Nên tam giác $BCD$ là tam giác đều.

Lại có $E$ là trung điểm $BC$ nên $DE \bot BC$.

Xét tam giác $BDE$ có $\left\{ \begin{aligned} & OB=OD \\ & FE=FB \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow OF//DE$

Vậy $OF \bot BC.$

Mặt khác ta lại có: $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot BC$

Do đó: $BC \bot (SOF)$

Suy ra $(SBC) \bot (SOF)$

b) Trong mặt phẳng $SOF$ dựng $OK \bot SF$ suy ra $OK\bot (SBC)$

Vậy $d(O;(SBC))=OK.$

Xét tam giác $SOF$ vuông tại O có: $OF=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{a\sqrt{3}}{4};\,SO=\dfrac{3a}{4}$

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{F}^{2}}}=\dfrac{16}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{64}{9{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow OK=\dfrac{3a}{8} \\ \end{aligned}$

Do đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\dfrac{3a}{8}$

Gọi I là giao điểm của $FO$ và $AD$.

Vì $ABCD$ là hình thoi tâm O nên I là ảnh của F qua phép đối xứng tâm O hay $OI=OF$

Trong mặt phẳng $(SIF)$ dựng $IK$ vuông góc với $SF$.

Vì $AD// (SBC)$ nên $d(A;(SBC))=d(I;(SBC))$

Ta có: $IH\bot SK \Rightarrow IH\bot (SBC)$

Suy ra $d(I;(SBC))=IH.$

Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & OK\bot KF \\ & IH\bot KF \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow IH//OK$

Xét tam giác $FIK$ có: $\left\{ \begin{aligned} & IH//OK \\ & OI=OF \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow IH=2OK=\dfrac{3a}{4}$