Giải bài 3 trang 59 – SGK môn Hình học lớp 11

Gợi ý:

b) Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chỉ ra ba điểm là ba điểm chung của hai mặt phẳng. Tức là chứng minh ba điểm cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

a) Trong mặt phẳng (ABN) gọi A' là giao điểm của BN và AG.

Ta có: $\left\{ \begin{align} & A'\in AG \\ & A'\in BN\subset \left( BCD \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'=AG\cap \left( BCD \right)$

b) Ta có: $A'\in BN=(ABN)\cap (BCD)$

$\left\{ \begin{align} &M\in \left( ABN \right) \\ & MM'//AA' \\ \end{align} \right.\Rightarrow MM'\subset \left( ABN \right)$

Suy ra $\left\{ \begin{align} &MM'\in \left( ABN \right) \\ & M'=Mx\cap (BCD)\\ \end{align} \right.\Rightarrow M'=(ABN)\cap(BCD)=BN$

Do vậy, B, M’, A’ là điểm chung của hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) nên B, M’, A’ thẳng hàng.

Trong tam giác NMM’ ta có: $\left\{ \begin{align} & GM=GN \\ & GA'//MM' \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'M'=A'N (1)$

Trong tam giác ABA’ có: $\left\{ \begin{align} & MA=MB \\ & MM'//AA' \\ \end{align} \right.\Rightarrow M'B=M'A' (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $BM’=M’A’=A’N$

c) Ta có: $\left\{ \begin{align} & GA'=\frac{1}{2}MM' \\ & MM'=\frac{1}{2}AA' \\ \end{align} \right.\Rightarrow GA'=\dfrac{1}{4}AA'\Rightarrow GA=3GA'$