Giải bài 3 trang 169 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Nhắc lại:

Công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin x)'=\cos x\\ (\cos x)'=-\sin x\\ (\tan x)'=\dfrac 1 {\cos^2 x}\\ (\cot x)'=-\dfrac 1 {\sin ^2 x}$

a)  Sử dụng công thức đạo hàm của hàm $\sin x$ và $\cos x$

$y'=\left( 5\sin x \right)'-\left( 3\cos x \right)'=5\cos x+3\sin x$

b) Sử dụng công thức $\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}$  và công thức đạo hàm của hàm $\sin x;\,\, \cos x$

$\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x+\cos x \right)'\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \sin x-\cos x \right)'}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}-{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-1+2\sin x\cos -1-2\sin x\cos x}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-2}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}} \\ \end{align}$ 
c) Sử dụng công thức đạo hàm của tích $\left( u.v \right)'=u'v+uv'$ 

$y'=\cot x+x\left( \cot x \right)'=\cot x+x.\dfrac{-1}{{{\sin }^{2}}x}=\cot x-\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$

d) Sử dụng công thức đạo hàm của một thương $\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}$ và đạo hàm của tổng.

$\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x \right)'x-\sin x.x'}{{{x}^{2}}}+\dfrac{x'.\sin x-x.\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{2}}x} \\ & =\dfrac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \\ & =\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right) \\ \end{align}$

e) Sử dụng công thức $\left( \sqrt{u} \right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

$y'=\dfrac{\left( 1+2\tan x \right)'}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\dfrac{\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x}}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{1+2\tan x}}$

f) Sử dụng công thức $\left( \sin u \right)'=u'\cos u$

$\begin{align} & y'=\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)'\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)'}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}} \\ \end{align}$