Giải bài 3 trang 141 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Gợi ý:

a) Hàm số liên tục có đồ thị là một nét liền trên tập xác định của nó.

b) Chứng minh dựa vào định nghĩa 1 trang 136, SGK Đại số và Giải tích 11.

a) Vẽ đồ thị hàm số:

- Vẽ đường thẳng $y=3x+2$ với $x<-1$ đi qua hai điểm $(-2;-4)$và $(-1;-1)$. Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng $x\ge -1$ ta được đồ thị của hàm số $y=3x+2$với $x<-1$.

- Vẽ Parabol $y=x^2-1$ với $x\ge -1$ có đỉnh là $(0;-1)$ và đi qua hai điểm $(-1;0);(1;0)$. Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng $x<-1$, ta được đồ thị hàm số $y=x^2-1$với $x\ge -1$

Ta có đồ thị như hình sau:

a) Tập xác định: $D=\mathbb R$

Từ đồ thị, ta có: Hàm số liên tục tại mọi điểm  $x\ne -1\Rightarrow f(x)$  liên tục trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$

Hàm số gián đoạn tại  $x=-1$

b) Chứng minh:

$f(-1)=(-1)^2-1=0$

$\begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0 \\ & \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,f(x)=\lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,\left( 3x+2 \right)=-1 \\ \end{align}$

Vì $\lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,f(x)\ne \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,f(x)$ nên hàm số $y=f(x)$ gián đoạn tại $x=-1$.