Giải bài 13 trang 108 – SGK môn Đại số và Giải tích 11

Hướng dẫn:

Để chứng minh $a, b, c$ là cấp số cộng, ta chứng minh $b-a=c-b$

Ta có: $\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}$là cấp số cộng 

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{c+a} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{b-a}{\left( c+a \right)\left( b+c \right)}=\dfrac{c-b}{\left( a+b \right)\left( c+a \right)} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{b-a}{b+c}=\dfrac{c-b}{a+b}\Leftrightarrow {{b}^{2}}-{{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}} \\ \end{aligned}$

Do vậy $a^2,b^2,c^2$ lập thành một cấp số cộng.

Vậy điều kiện để $\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}$là cấp số cộng là $a^2,b^2,c^2$ là cấp số cộng.