Giải bài 11 trang 114 – SGK môn Hình học lớp 11

Hướng dẫn:

a) Chứng minh $BD\bot (SAC)$

b) Chứng minh hai tam giác AIK và ACS đồng dạng.

c) Chứng minh $SA\bot (DKB)$

a)

Vì ABCD là hình thoi nên $BD\bot AC$

Lại có: $SC\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SC\bot BD$

Suy ra: $BD\bot \left( SCA \right)\Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( SAC \right)$

b) 

Xét hai tam giác AIK và ACS có:

$\left\{ \begin{aligned} & \widehat{A}\,\,\text{chung} \\ & \widehat{AKI}=\widehat{ACS}={{90}^{o}} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta AKI\sim \Delta ACS (g.g)$

Suy ra $\dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\Rightarrow IK=\dfrac{SC.AI}{AS}$ (cặp cạnh tương ứng)

Mà $ABCD$ là hình thoi cạnh a có góc A bằng $60^o$ nên góc B bằng $120^o.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}={{120}^{o}};\,BC=BA=a$

$\begin{aligned} & \Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{A}^{2}}-2BA.BC.cos{{120}^{o}}} \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.{{a}^{2}}.\dfrac{-1}{2}}=a\sqrt{3} \\ & \Rightarrow IA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\ \end{aligned}$

Xét tam giác SCA vuông tại C.

$SA=\sqrt{S{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}.6}{4}+3{{a}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}$

Vậy $IK=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a}{2}$ 

c) Ta có: $IK=IB=ID=\dfrac{a}{2}$

Nên tam giác BDK vuông tại K hay $\widehat{DKB}={{90}^{o}}$

Ta có:

 $\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & SA\bot DB\,\,\left( \text{vì}\,\,DB\bot \left( SAC \right) \right) \\ & SA\bot IK \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( DKB \right) \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & SA\bot DK \\ & SA\bot BK \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Vậy góc DKB là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$  và $\widehat{DKB}={{90}^{o}}$

nên ta suy ra $\left( SAB \right)\bot \left( SAD \right)$