Giải bài 1 trang 54 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

a) Mỗi số có $6$ chữ số khác nhau được lập từ $1, 2, 3, 4, 5, 6$ là một hoán vị của $6$ số.
Vậy có $6!=720$ số.

b)

Cách 1: Trong 6 số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ có $3$ số chẵn và $3$ số lẻ nên số chẵn và số lẻ được lập từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ là như nhau.
Nên có $\dfrac{6!}{2}=360$ số chẵn và $360$ số lẻ.

Cách 2: Gọi số có $6$ chữ số có dạng: $\overline{abcdef}$

Với $f \in\{ 2, 4, 6\}$ có $3$ cách chọn $f$

$a, b, c, d, e \ne f$ nên có  $5!$ cách chọn.

Vậy số cách chọn: $5!.3 = 360$ (số chẵn )

Tương tự ta cũng có: $360$ số  lẻ.

c)

Giả sử số cần tìm có dạng $\overline{abcdef}$

Trường hợp 1: $a<4$: $a$ có $3$ cách chọn $a\in\{1;2;3\}$

$\overline{bcdef}$ có $5!=120$ cách chọn là số hoán vị của $5$  trong $6$phần tử $1, 2, 3, 4, 5, 6$ trừ số $a$.

Vậy theo quy tắc nhân trường hợp này có $3.120=360$ số.

Trường hợp 2: $a=4, b< 3$

$b$ có $2$ cách chọn: $b∈\{1;2\}$

$\overline{cdef}$ có $4!=24$ cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có $2.24=48$ số.

Trường hợp 3: $a=4, b=3, c=1$

Số $\overline{def}$ có $3!=6$ cách chọn.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là: $360+48+6=414$ số.

Ghi nhớ:

Định nghĩa hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử ($n\ge 1$).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoàn vị của n phần tử đó.

Số hoán vị của n phần tử là: $P_n=n(n-1)(n-2)...2.1=n!$