Giải bài 9 trang 17 – SGK Hình học lớp 10

Qua $M$, kẻ $PQ$ // $AB$, $RS$ // $AC$ và $IK$ // $BC$

Dễ chứng minh được $\Delta {MPS}$ đều nên $MD$ là đường trung tuyến.

$\Rightarrow 2\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS}$ (1)

$\Delta {RIM}$ đều nên $MF$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow 2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MI}$ (2)

$\Delta {MQK}$ đều nên $ME$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow 2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}$ (3)

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta được:

$\begin{align} & 2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MI} \right)+\left( \overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MK} \right)+\left( \overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MQ} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA} \,\,(4)\\ \end{align}$

(Do $MIBP,MKCS,MQAR$ là các hình hình hành)

Lại có $M$ là trọng tâm $\Delta{ABC}$ nên 

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$   (5)

Kết hợp (4) và (5), ta được:

$2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)=3\overrightarrow{MO}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Ghi nhớ:

Nếu AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC (I thuộc BC) thì $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AI}$