Giải bài 8 trang 17 – SGK Hình học lớp 10

Hướng dẫn:

Áp dụng: Nếu AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC (I thuộc BC) thì $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AI}$

Giả sử $G$ là trọng tâm tam giác $MPR$. Khi đó:

$\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}$

Vì $M, P, R$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD, EF$ nên

$\begin{align} & \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM} \\ & \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GP}\\ & \overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=2\overrightarrow{GR} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=2\left( \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR} \right) \\ & \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GF} \right)+\left( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+\left( \overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE} \right)=\overrightarrow{0}\,\,\, \\ \end{align}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GS}+2\overrightarrow{GN}+2\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}$ (Do $S, N, Q$ lần lượt là trung điểm của $AF,BC,DE$)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}$

Vậy $G$ cũng là trọng tâm của $\Delta{NQS}$ hay hai tam giác $MNR$ và $NQS$ có cùng trọng tâm.