Giải bài 6 trang 84 – SGK Hình học lớp 10

Gợi ý:

Nếu  d là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ thì $d(O;d)=R$

a) Tọa độ tâm của đường tròn là $I\left( 2;-4 \right)$

Bán kính của đường tròn là $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+5}=5$.

b) Phương trình tiếp tuyến d của (C) đi qua điểm $A\left( -1;0 \right)$ có dạng $ax+by+c=0$.

Do A nằm trên d nên $-a+c=0\Leftrightarrow a=c$

Do d là tiếp tuyến của (C) nên $d\left( I,d \right)=R .$

$\begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{\left| 2a-4b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=5 \\ & \Leftrightarrow \left| 3a-4b \right|=5\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 9{{a}^{2}}-24ab+16{{b}^{2}}=25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 16{{a}^{2}}+24ab+9{{b}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow b=-\dfrac{4}{3}a \\ \end{aligned}$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là $ax-\dfrac{4}{3}ay+a=0\Leftrightarrow 3x-4y+3=0$

c)  Phương trình tiếp tuyến d của (C) vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$ có dạng $4x+3y+c=0$

Do d là tiếp tuyến của (C) nên $d\left( I,d \right)=R .$

$\begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{\left| 4.2+3.\left( -4 \right)+c \right|}{5}=5 \\ & \Leftrightarrow \left| c-4 \right|=25 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & c-4=25 \\ & c-4=-25 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & c=29 \\ & c=-21 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là $4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0 .$