Giải bài 6 trang 160 – SGK môn Đại số lớp 10

Gợi ý: 

a) Đưa về biểu thức tích của hai nhị thức bậc nhất.

b) Từ đồ thị hàm số xác định giao điểm hoặc giải phương trình hoành độ giao điểm.

c) Hàm số có giá trị lớn nhất khi a < 0 và tung độ đỉnh bằng 8

a) Ta có:
$f\left( x \right)=\left( x+2 \right)\left[ 2x-\left( x+1 \right) \right]=\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)$

Lập bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có:

$f\left( x \right)>0$ khi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$

$f(x)<0$ khi $x\in \left( -2;1 \right)$

$f(x)=0$ khi $x\in \left\{ -2;1 \right\}$ 

b)
$(C_1): y=2x(x+2)=2x^2+4x$

($C_1$) là parabol có đỉnh $(-1; -2)$ và giao Ox tại hai điểm $(0; 0) (-2; 0)$

Bảng biến thiên

$(C_2): y=\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)={{x}^{2}}+3x+2$

($C_2$) là parabol có đỉnh là $I\left( -\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4} \right)$  và cắt trục Ox tại hai điểm $(-2;0)$ và $(-1;0)$

Bảng biến thiên

Đồ thị

Hoành độ giao điểm của A và B là nghiệm của phương trình 

$2x^2+4x=x^2+3x+2\\ \Leftrightarrow x^2+x-2=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{align}&x=1\\&x=-2\\ \end{align}\right.$

Vậy tọa độ A và B lần lượt là $(1;6);(-2;0)$

c) 

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ đi qua hai điểm A và B nên ta có:
$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a+b+c=6 \\ & 4a-2b+c=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3a-3b=-6 \\ & a+b+c=6 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-2+b \\ & c=6-a-b=8-2b \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Để hàm số $y=ax^2+bx+c$ đạt giá trị lớn nhất bằng 8 thì
$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a<0 \\ & \dfrac{-\Delta }{4a}=8 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a<0 \\ & \dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{4a}=8 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a<0 \\ & 4ac-{{b}^{2}}=24a \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a<0 \\ & 4\left( -2+b \right)\left( 6-2b \right)=24\left( -2+b \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Giải phương trình
$\begin{aligned} & 4\left( -2+b \right)(8-2b)=32(b-2) \\ & \Leftrightarrow 9{{b}^{2}}-16b=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & b=0 \\ & b=\dfrac{16}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Với $b=0$ thì $a=2, c=8$
Với $b=\dfrac{16}9\Rightarrow a=-\dfrac 2 9$ (loại)