Giải bài 6 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Với hai số dương a và b ta có: $\dfrac {a+b} 2 \ge \sqrt{ab}$

Ta có:

$\begin{align} & \dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b} \\ & =\left( \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \right)+\left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right)+\left( \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b} \right) \\ \end{align}$

Vì $a, b, c > 0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương $\dfrac{a}{b};\dfrac{b}{a};\dfrac{b}{c};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c};\dfrac{c}{a}$ ta được:

$\left( \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \right)+\left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right)+\left( \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b} \right) \\ \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}} \\ \ge 2+2+2=6$