Giải bài 5 trang 17 – SGK Hình học lớp 10

Gợi ý:

Áp dụng quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}$

Ta có: 

$\begin{align} & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN} \\ & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN} \\ \end{align}$

Lại có: 

$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$  (do $M$ là trung điểm của $AB$)

$\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{DN}$ (do $N$ là trung điểm của $AC$)

Do đó:

$\begin{align} & 2\overrightarrow{MN}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right)+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\left( \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{0} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \\ \end{align}$

Chứng minh tương tự, ta có: $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$

Vậy $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$