Giải bài 4 trang 93 – SGK Hình học lớp 10

a) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với Δ. 

Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{d}}}=\left( 1;1 \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là $x+y=0.$

Tọa độ giao điểm H của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x-y+2=0 \\ & x+y=0 \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-1 \\ & y=1 \\ \end{aligned} \right.$

Điểm O’ đối xứng với O qua Δ khi và chỉ khi H là trung điểm của OO’

$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{O'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{O}}=-2 \\ & {{y}_{O'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{O}}=2 \\ \end{aligned} \right.$

Vậy tọa độ điểm đối xứng cần tìm là $O'\left( -2;2 \right)$.

b) Ta có $\left( 0-0+2 \right)\left( 2-0+2 \right)=8>0$

Suy ra O và A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ.

Với M nằm trên Δ, ta có $MO=MO’$ (O’ đối xứng với O qua Δ)

Suy ra $MO+MA=MO'+MA\ge O'A$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $O’, M, A$ thẳng hàng.

Ta có $\overrightarrow{O'A}=\left( 4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{O'A}}}=\left( 1;2 \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng O’A là 

$x-2+2y=0\Leftrightarrow x+2y-2=0$

Giao điểm M cần tìm là giao điểm của Δ và O’A thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{aligned} & x+2y-2=0 \\ & x-y+2=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-\dfrac{2}{3} \\ & y=\dfrac{4}{3} \\ \end{aligned} \right.$

Vậy tọa độ điểm M là $\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$

Ghi nhớ: Cho đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$

+) Nếu $\left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)<0$ thì A và B nằm khác phía so với d.

+) Nếu $\left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)>0$ thì A và B nằm cùng phía so với d.