Giải bài 4 trang 45 – SGK Hình học lớp 10

Hướng dẫn

a) Áp dụng $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$

b) Tính độ dài từng cạnh của tam giác.

c) Chứng minh $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=0$

a) Điểm $D \in Ox$ nên $D(x;0)$

$\begin{align} & DA=DB \\ & \Leftrightarrow D{{A}^{2}}=D{{B}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}={{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 1-2x+{{x}^{2}}+9=16-8x+{{x}^{2}}+4 \\ & \Leftrightarrow 6x=10 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{5}{3} \\ & \Rightarrow D\left( \frac{5}{3};0 \right) \\ \end{align}$

b) Ta có:

$\begin{align} & O{{A}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10\Rightarrow OA=\sqrt{10}; \\ & O{{B}^{2}}={{4}^{2}}+{{2}^{2}}=20\Rightarrow OB=2\sqrt{5}; \\ & A{{B}^{2}}={{\left( 4-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}={{3}^{2}}+{{1}^{2}}=10\Rightarrow AB=\sqrt{10} \\ \end{align}$

Chu vi tam giác $OAB$ là:

$OA+OB+AB=\sqrt{10}+2\sqrt{5}+\sqrt{10}=2(\sqrt{10}+\sqrt{5})$

c) $\overrightarrow{OA}=\left( 1;3 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 3;-1 \right)$

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=1.3+3.\left( -1 \right)=0\Rightarrow OA\bot OB$

Diện tích tam giác $OAB$ là:

$\dfrac{1}{2}.OA.AB=\dfrac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}=5$ (đvdt)