Giải bài 4 trang 27 – SGK Hình học lớp 10

Hướng dẫn:

Xét hai trường hợp: 

Trường hợp 1:   $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Trường hợp 2:  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Trường hợp 1:  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Ta có:  $\overrightarrow{a} =k\overrightarrow{b}$. Khi đó:

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\left|k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left|(k+1)\overrightarrow{b} \right|\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left|1+k \right|\left|\overrightarrow{b} \right| \le (1+\left|k \right|) \left|\overrightarrow{b} \right|$

Suy ra: 

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right| \le \left|k\overrightarrow{b} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right|=\left|\overrightarrow{a} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right|$

Trường hợp 2: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Đặt $\overrightarrow{a} =\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{b} =\overrightarrow{BC}$

Khi đó:

 $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Suy ra: $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=AC$(1)

Mà $\Delta{ABC}$ có:

 $AB+BC \ge AC$ 

hay $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\ge AC$ (2)

Từ (1) và (2), ta có:

 $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right| \le \left|\overrightarrow{a} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right|$.