Giải bài 4 trang 160 – SGK môn Đại số lớp 10

Gợi ý:

Áp dụng bảng tính chất của bất đẳng thức trang 75 SGK Đại số 10.

a)

Với $x-1 >0\Leftrightarrow x>1$ ta có:

$x^5-1-5(x-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)-5(x-1)\\ =(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-4)>0$

Do đó: $x^5-1>5(x-1)$

Tương tự, ta có:

$5x^4(x-1)-(x^5-1)=5x^4(x-1)-(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\\ =(x-1)(4x^4-x^3-x^2-x-1)>0$

Do vậy $5x^4(x-1)>x^5-1$

Vậy ta được điều phải chứng minh

b) Ta có:

$A=x^5+y^5-x^4y-xy^4\\ =x^4(x-y)+y^4(y-x)\\ =(x^4-y^4)(x-y)\\ =(x^2+y^2)(x+y)(x-y)^2\ge 0\,\,\forall x+y\ge 0$

Vậy $A\ge 0$ với mọi x, y sao cho $x+y \ge 0$

c) 

Với $a\ge -\dfrac{1}{4};b\ge -\dfrac{1}{4};c\ge -\dfrac{1}{4}$ ta có:

$\begin{aligned} & B=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \\ & <\sqrt{4{{a}^{2}}+4a+1}+\sqrt{4{{b}^{2}}+4b+1}+\sqrt{4{{c}^{2}}+4c+1} \\ & =\left| 2a+1 \right|+\left| 2b+1 \right|+\left| 2c+1 \right| \\ \end{aligned}$

Vì $a\ge -\dfrac{1}{4}>-\dfrac{1}{2};b\ge -\dfrac{1}{4}>-\dfrac{1}{2};c\ge -\dfrac{1}{4}>-\dfrac{1}{2}$

Nên

$\begin{aligned} & B<2a+1+2b+1+2c+1 \\ & =2\left( a+b+c \right)+3 \\ & =5 \\ \end{aligned}$

Vậy ta được điều phải chứng minh