Giải bài 3 trang 88 – SGK Hình học lớp 10

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
a) Do elip đi qua các điểm $M(0;3)$ và $N\left( 3;\dfrac{-12}{5} \right)$ nên ta có hệ phương trình
$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{9}{{{b}^{2}}}=1 \\ & \dfrac{9}{{{a}^{2}}}+\dfrac{\dfrac{144}{25}}{{{b}^{2}}}=1 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=9 \\ & \dfrac{9}{{{a}^{2}}}+\dfrac{16}{25}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=9 \\ & \dfrac{9}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{25} \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=9 \\ & {{a}^{2}}=25 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Do đó ta có phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1.$
b) Vì một tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{3};0 \right)$ nên $c=\sqrt{3}$
Suy ra ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{c}^{2}}=3$ (1)
Vì điểm $M\left( 1;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ nằm trên elip nên $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{3}{4{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+3{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=3 \\ & 3{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0 \\ \end{aligned} \right.$
$\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=3+{{b}^{2}} \\ & -4{{b}^{4}}-5{{b}^{2}}+9=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=3+{{b}^{2}} \\ & \left[ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=1 \\ & {{b}^{2}}=-\dfrac{9}{4}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=4 \\ & {{b}^{2}}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$
Do đó ta có phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1}=1.$

Ghi nhớ: Muốn lập phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:

Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ .

Bước 2: Dựa vào các dữ kiện tìm $a^2, b^2$.

Bước 3: Kết luận.