Giải bài 3 trang 45 – SGK Hình học lớp 10

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a; \overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$ là: $\overrightarrow a . \overrightarrow b =|\overrightarrow a||\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b)$

Ta có:

 $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}$(1)

Lại có: $\widehat{AMB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $\Rightarrow AI\,\bot\,BM\\ \Rightarrow \overrightarrow{AI} .\overrightarrow{BM}=0\,\, (2)$

Từ (1) và (2), ta có: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}$

Chứng minh tương tự, ta được: $\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}$

b) Áp dụng kết quả câu a) ta có:

$\begin{aligned} & \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI} \right).\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=A{{B}^{2}} \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4{{R}^{2}} \\ \end{aligned}$

Ghi nhớ:

Nếu góc giữa hai vectơ là $90^o$ thì tích vô hướng của hai vectơ bằng 0.