Giải bài 2 trang 94 – SGK môn Đại số lớp 10

Hướng dẫn:

Chuyển vế rồi quy đồng đưa các bất phương trình về dạng tích thương các nhị thức bậc nhất

a) Điều kiện xác định:

$x\ne 1;x\ne \dfrac 1 2$

Ta có:

$\begin{aligned} & \,\dfrac{2}{x-1}\le \dfrac{5}{2x-1} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{2x-1}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2\left( 2x-1 \right)-5\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-x+3}{\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}\le 0 \\ \end{aligned}$

Đặt $f(x)=\dfrac{-x+3}{(x-1)(2x-1)}$

Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & -x+3=0 \\ & x-1=0 \\ & 2x-1=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=1 \\ & x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.$

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu:

$f(x) \le 0$ khi $x\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)\cup [3;+\infty)$

Vậy $S= \left( \dfrac{1}{2};1 \right)\cup [3;+\infty)$

b) Điều kiện xác định $x\ne \pm 1$ 

Ta có:

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}-\left( x+1 \right)}{\left( x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-3x}{\left( x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{x\left( x-3 \right)}{x+1}<0 \\ \end{aligned}$
Đặt $f(x)=\dfrac{x\left( x-3 \right)}{x+1}$

Có: $\left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & x-3=0 \\ & x+1=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right.$

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x)<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;3 \right)$

Vậy $S=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;3 \right)$

c) 

Điều kiện xác định $x\ne 0;x\ne -4;x\ne -3$

Ta có:

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+4}<\dfrac{3}{x+3} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+4}-\dfrac{3}{x+3}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)+2x\left( x+3 \right)-3x\left( x+4 \right)}{x\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{x+12}{x\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}<0 \\ \end{aligned}$

Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{x+12}{x\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}$

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x)<0\Leftrightarrow x\in (-12;-4)\cup(-3;0)$

Vậy $S= (-12;-4)\cup(-3;0)$

d) Điều kiện xác định $x\ne \pm 1$

Ta có:

$\begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}<1 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}-1<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-3x+1-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-3x+2}{\left( x-1 \right)\left( x-1 \right)}<0 \\ \end{aligned}$

Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{-3x+2}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}$

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x)<0\Leftrightarrow x\in \left(-1;\dfrac 2 3\right)\cup (1;+\infty)$

Vậy $S= \left(-1;\dfrac 2 3\right)\cup (1;+\infty)$