Giải bài 5.6 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là  $y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$
Trong đó $y_0=f(x_0)$

a)

Tính đạo hàm của hàm số tại $x=-1$ bằng định nghĩa:

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0=-1$. Ta có:

$\begin{align} & \Delta y=f\left( -1+\Delta x \right)-f\left( -1 \right) \\ & ={{\left( -1+\Delta x \right)}^{3}}-3{{\left( -1+\Delta x \right)}^{2}}+2-\left( -2 \right) \\ & =-1+3\Delta x-3{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+{{\left( \Delta x \right)}^{3}}-3\left[ 1-2\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right]+4 \\ & ={{\left( \Delta x \right)}^{3}}-6{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+9\Delta x \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}={{\left( \Delta x \right)}^{2}}-6\Delta x+9 \\ & \Rightarrow y'\left( -1 \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left[ {{\left( \Delta x \right)}^{2}}-\Delta x+9 \right]=9 \\ \end{align}$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $(-1;-2)$ là

$\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+2=9\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=9x+7 \\ \end{align}$

b) Điểm có hoành độ bằng $-2$ thì có tung độ là 8

Giả sử $\Delta x$  là số gia của đối số tại $x_0=-2$. Ta có:

$\begin{align} & \Delta y={{\left( -2+\Delta x \right)}^{4}}-2{{\left( -2+\Delta x \right)}^{2}}-8 \\ & =16-32\Delta x+24{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-8{{\left( \Delta x \right)}^{3}}+{{\left( \Delta x \right)}^{4}}-8+8\Delta x-2{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-8 \\ & ={{\left( \Delta x \right)}^{4}}-8{{\left( \Delta x \right)}^{3}}+22{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-24\Delta x \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}={{\left( \Delta x \right)}^{3}}-8{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+22\Delta x-24 \\ & \Rightarrow y'\left( -2 \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left[ {{\left( \Delta x \right)}^{3}}-8{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+22\Delta x-24 \right]=-24 \\ \end{align}$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $(-2;8)$ là

 $\begin{align} & y-{{y}_{o}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-8=-24\left( x+2 \right) \\ & y=-24x-40 \\ \end{align}$ 

c) Giả sử $\Delta x$  là số gia đối số tại điểm $x_0$

Ta có:

$\begin{align} & \Delta y=\dfrac{2\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right)+1}{\Delta x+{{x}_{0}}-2}-\dfrac{2{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2} \\ & =\dfrac{\left( 2\Delta x+2{{x}_{0}}+1 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)-\left( \Delta x+{{x}_{0}}-2 \right)\left( 2{{x}_{0}}+1 \right)}{\left( \Delta x+{{x}_{0}}-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \\ & =\dfrac{-5\Delta x}{\left( \Delta x+{{x}_{0}}-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \\ \end{align}$

Suy ra 

$\begin{align} & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{-5\Delta x}{\left( \Delta x+{{x}_{0}}-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)}}{\Delta x}=\dfrac{-5}{\left( \Delta x+{{x}_{0}}-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \\ & \Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\left[ -\dfrac{5}{\left( \Delta x+{{x}_{0}}-2 \right)\left( {{x}_{0}}-2 \right)} \right]=-\dfrac{5}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}} \\ \end{align}$

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-5$ tương đương với

$\begin{aligned} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=-5 \\ & \Rightarrow \dfrac{-5}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-5 \\ & \Rightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=7 \\ & {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng $-5$ là 
$y=-5x+2,\,\,y=-5x+22$

Ghi nhớ:

Vậy để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0(x_0;y_0)$. Ta thực hiện:

Tìm $y'(x_0)$

Viết phương trình tiếp tuyến dạng: $y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$