Giải bài 5.5 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

$y=f(x)=sign x=\left\{ \begin{align} & 1\,\,\text{nếu}\,\,x>0 \\ & 0\,\,\text{nếu}\,\,x=0 \\ & -1\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ \end{align} \right.$

Vì

$\begin{align} & \lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,signx=-1 \\ & \lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,signx=1 \\ & f\left( 0 \right)=0 \\ \end{align}$

Nên hàm số $y=f(x)$ gián đoạn tại $x=0$

Do đó hàm số $y=f(x)$ không có đạo hàm tại điểm $x=0$

Ghi  nhớ:

Để chứng minh một hàm số không có đạo hàm tại điểm $x=x_0$ ta chứng minh không tồn tại giới hạn $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ hoặc chứng minh hàm số đó không liên tục tại $x=x_0.$

Một hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì liên tục tại $x_0$, điều ngược lại chưa chắc đúng.