Giải bài 5.44 - 5.47 trang 207 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn: 

- Sử dụng các công thức đạo hàm của hàm số lượng giác:

$\left( \sin x \right)'=\cos x;\\\left( \cos x \right)'=-\sin x;\\\left( \tan x \right)'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x};\\\left( \cot x \right)'=-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}$

- Sử dụng các công thức đạo hàm:

$(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u};\\ \left(\dfrac 1 u\right)'=-\dfrac {u'}{u^2};\\ \left(\dfrac u v\right)'=\dfrac {u'v-uv'}{v^2};\\$

5.44.

$\begin{aligned} & g\left( \varphi \right)=\dfrac{\cos \varphi +\sin \varphi }{1-\cos \varphi } \\ & \Rightarrow g'\left( \varphi \right)=\dfrac{\left( \cos \varphi +\sin \varphi \right)'\left( 1-\cos \varphi \right)-\left( \cos \varphi +\sin \varphi \right)\left( 1-\cos \varphi \right)'}{{{\left( 1-\cos \varphi \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left( -\sin \varphi +\cos \varphi \right)\left( 1-\cos \varphi \right)-\left( \cos \varphi +\sin \varphi \right)\left( \sin \varphi \right)}{{{\left( 1-\cos \varphi \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-\sin \varphi +\cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi -{{\cos }^{2}}\varphi -\sin \varphi \cos \varphi -{{\sin }^{2}}\varphi }{{{\left( 1-\cos \varphi \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{\cos \varphi -\sin \varphi -1}{{{\left( 1-\cos \varphi \right)}^{2}}} \\ \end{aligned}$

5.45

$\begin{aligned} & y={{\left( 1+3x+5{{x}^{2}} \right)}^{4}} \\ & \Rightarrow y'=4\left( 1+3x+5{{x}^{2}} \right)'{{\left( 1+3x+5{{x}^{2}} \right)}^{3}} \\ & =4\left( 3+10x \right){{\left( 1+3x+5{{x}^{2}} \right)}^{3}} \\ \end{aligned}$

5.46.

$\begin{aligned} & y={{\sin }^{2}}3x+\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sin }^{2}}3x+1+{{\tan }^{2}}x \\ & \Rightarrow y'=2.\left( 3x \right)'.\cos 3x.\sin 3x+2.\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}.\tan x \\ & =3\sin 6x+\dfrac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x} \\ \end{aligned}$

5.47.

$\begin{aligned} & y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \\ & \Rightarrow y'=\dfrac{\left( x+\sqrt{x+\sqrt{x}} \right)'}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \\ & =\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.\left[ 1+\dfrac{\left( x+\sqrt{x} \right)'}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \right] \\ & =\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.\left[ 1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\left( 1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right] \\ \end{aligned}$