Giải bài 5.23 trang 203 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb R\)
a) \(f'(x)>0\) với \(f(x)=\dfrac{m}3x^3-3x^2+mx-5\)
b) \(g'(x)<0\) với \(g(x)=\dfrac m 3 x^3 -\dfrac m 2 x^2+(m+1)x-15\)
a) Ta có:
\(f'\left( x \right)=m{{x}^{2}}-6x+m \)
Để \( f'\left( x \right)>0\,\,\forall x\) thì:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & \Delta '<0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & 9-{{m}^{2}}<0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & \left[ \begin{aligned} & m<-3 \\ & m>3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3 \\ \end{aligned} \)
b) Ta có:
\(g'\left( x \right)=m{{x}^{2}}-mx+m+1 \)
Để \(g'\left( x \right)<0\,\,\forall x\) thì
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & \Delta <0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & {{m}^{2}}-4m\left( m+1 \right)<0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & -3{{m}^{2}}-4m<0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & \left[ \begin{aligned} & m<-\dfrac{4}{3} \\ & m>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<-\dfrac{4}{3} \\ \end{aligned} \)
Ghi nhớ:
Bất phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c<0\) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right. \)
(Tương tự với các dạng bất phương trình \(ax^2+bx+c>0; ax^2+bx+c \ge 0; ax^2+bx+c \le 0\))