Giải bài 5.23 trang 203 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) Ta có:

$f'\left( x \right)=m{{x}^{2}}-6x+m$

Để $f'\left( x \right)>0\,\,\forall x$ thì:

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & \Delta '<0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & 9-{{m}^{2}}<0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & \left[ \begin{aligned} & m<-3 \\ & m>3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3 \\ \end{aligned}$

b) Ta có:

$g'\left( x \right)=m{{x}^{2}}-mx+m+1$

Để $g'\left( x \right)<0\,\,\forall x$ thì

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & \Delta <0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & {{m}^{2}}-4m\left( m+1 \right)<0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & -3{{m}^{2}}-4m<0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m<0 \\ & \left[ \begin{aligned} & m<-\dfrac{4}{3} \\ & m>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<-\dfrac{4}{3} \\ \end{aligned}$

Ghi nhớ:

Bất phương trình bậc hai $ax^2+bx+c<0$ nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$

(Tương tự với các dạng bất phương trình $ax^2+bx+c>0; ax^2+bx+c \ge 0; ax^2+bx+c \le 0$)