Giải bài 5.10 trang 199 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Điểm có hoành độ \(x=0\) thì có tung độ \(y_0=\dfrac 5 2\)

Tính đạo hàm của hàm số tại \(x=0\) bằng định nghĩa

Ta có 

\(\begin{align} & \Delta y=f\left( \Delta x \right)-f\left( 0 \right) \\ & =\dfrac{{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+4\Delta x+5}{\Delta x+2}-\dfrac{5}{2} \\ & =\dfrac{2{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+8\Delta x+10-5\Delta x-10}{2\left( \Delta x+2 \right)} \\ & =\dfrac{2{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+3\Delta x}{2\left( \Delta x+2 \right)} \\ \end{align} \)

Suy ra \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{2{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+3\Delta x}{2\left( \Delta x+2 \right)}}{\Delta x}=\dfrac{2\Delta x+3}{2\left( \Delta x+2 \right)} \)

Vậy \(f'\left( 0 \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\dfrac{2\Delta x+3}{2\left( \Delta x+2 \right)}=\dfrac{3}{4} \)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x=0\) là

 \(y-\dfrac 5 2=\dfrac 3 4x \Leftrightarrow y=\dfrac 3 4 x+\dfrac 5 2\)

Chọn D.

Ghi nhớ:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=x_0\) có dạng: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

trong đó \(y_0=f(x_0)\)