Giải bài 4.8 trang 157 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

HD: Tìm công thức tổng quát của $u_n$ theo $n$.

BG

Ta có: $u_1=2;\,\,u_2=\dfrac{3}{2};\,\,u_3=\dfrac{5}{4};\,\,u_4=\dfrac{9}{8};\,\,u_5=\dfrac{17}{16}$

Dự đoán $u_n=\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}$

Chứng minh bằng quy nạp:

Với $n=1$, ta có: ${{u}_{1}}=\dfrac{{{2}^{0}}+1}{{{2}^{0}}}=2$ (hệ thức đúng)

Giả sử công thức đúng với $n=k\,\, (k> 1)$

Ta chứng minh công thức đúng với $n=k+1$. Thật vậy:

${{u}_{k+1}}=\dfrac{{{u}_{k}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{{{2}^{k-1}}+1}{{{2}^{k-1}}}+1}{2}=\dfrac{{{2}^{k-1}}+1+{{2}^{k-1}}}{{{2.2}^{k-1}}}=\dfrac{{{2}^{k}}+1}{{{2}^{k}}}$

Vậy công thức đúng với mọi $n$.

Ta có:

$\lim {{u}_{n}}=\lim \dfrac{{{2}^{n-1}}+1}{{{2}^{n-1}}}=\lim \left( 1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=1$