Giải bài 4.8 trang 157 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho biết dãy số (\(u_n\)) xác định bởi công thức truy hồi
\(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2} \\ \end{align} \right.\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \)
Chứng minh (\(u_n\)) có giới hạn hữu hạn khi \(n\to +\infty\) . Tìm giới hạn đó.
HD: Tìm công thức tổng quát của \(u_n\) theo \(n\).
BG
Ta có: \(u_1=2;\,\,u_2=\dfrac{3}{2};\,\,u_3=\dfrac{5}{4};\,\,u_4=\dfrac{9}{8};\,\,u_5=\dfrac{17}{16}\)
Dự đoán \(u_n=\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}\)
Chứng minh bằng quy nạp:
Với \(n=1\), ta có: \({{u}_{1}}=\dfrac{{{2}^{0}}+1}{{{2}^{0}}}=2 \) (hệ thức đúng)
Giả sử công thức đúng với \(n=k\,\, (k> 1)\)
Ta chứng minh công thức đúng với \(n=k+1\). Thật vậy:
\({{u}_{k+1}}=\dfrac{{{u}_{k}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{{{2}^{k-1}}+1}{{{2}^{k-1}}}+1}{2}=\dfrac{{{2}^{k-1}}+1+{{2}^{k-1}}}{{{2.2}^{k-1}}}=\dfrac{{{2}^{k}}+1}{{{2}^{k}}} \)
Vậy công thức đúng với mọi \(n\).
Ta có:
\(\lim {{u}_{n}}=\lim \dfrac{{{2}^{n-1}}+1}{{{2}^{n-1}}}=\lim \left( 1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=1\)