Giải bài 4.58 trang 174 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Xác định hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) \(f(x)\) xác định trên \( \mathbb R\)
b) \(y=f(x)\) liên tục trên \((-\infty;0)\) và \([0;+\infty) \) nhưng gián đoạn tại \(x=0\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x+3\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+x\,\,\text{nếu}\,x<0 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb R\)
Với \(x\ge 0\) thì \(f(x)=x^2+2x+3\) là hàm đa thức nên liên tục trên \( [\text{ }0;+\infty )\)
Với \(x<0\) thì \(f(x)=x^2+x\) hàm đa thức nên liên tục trên \( (-\infty ;0) \)
Nhưng \(\lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{0}^{-}}}\limits\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=0 \)
Và \(\lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{0}^{+}}}\limits\,\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)=3 \)
Nên hàm số gián đoạn tại \(x=0\)