Giải bài 4.52 trang 173 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\dfrac{1}{10}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\dfrac{1}{10}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao này.
Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến
- thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({{d}_{1}}=63\)
- thời điểm chạm đất lần thứ hai là \({{d}_{2}}=63+2.\dfrac{63}{10} \)
- thời điểm chạm đất lần thứ ba là \({{d}_{3}}=63+2.\dfrac{63}{10}+2.\dfrac{63}{{{10}^{2}}} \)
- thời điểm chạm đất lần thứ tư là \({{d}_{4}}=63+2.\dfrac{63}{10}+2.\dfrac{63}{{{10}^{2}}}+2.\dfrac{63}{{{10}^{3}}} \)
….
- thời điểm chạm đất thứ \(n (n>1)\) là \({{d}_{n}}=63+2.\dfrac{63}{10}+2.\dfrac{63}{{{10}^{2}}}+2.\dfrac{63}{{{10}^{3}}}+...+2.\dfrac{63}{{{10}^{n-1}}} \)
Do đó độ dài hành trình của quả bóng từ khi bắt đầu rơi đến khi nằm yên trên mặt đất là
\(\begin{align} & d=63+2.\dfrac{63}{10}+2.\dfrac{63}{{{10}^{2}}}+2.\dfrac{63}{{{10}^{3}}}+...+2.\dfrac{63}{{{10}^{n-1}}}+... \\ & =63+2.\dfrac{63}{10}\left( 1+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{{{10}^{2}}}+... \right) \\ & =63+\dfrac{63}{5}.S\,\,\left( m \right) \\ \end{align}\)
Ta có:
\(S=1+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{{{10}^{2}}}+\dfrac{1}{{{10}^{3}}}+...=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{10}{9}\) (tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có \({{u}_{1}}=1,q=\dfrac{1}{10} \))
Vậy \(d=63+\dfrac{63}{5}.\dfrac{10}{9}=77\,\,\left( m \right) \)