Giải bài 4.48 trang 173 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm giới hạn của dãy số (un) với
a) un=(−1)nn2+1
b) un=2n−n3n+1
Hướng Dẫn: Tính bằng định nghĩa.
- Tính |un|. Chứng minh |un| nhỏ hơn một số dương bé bất kì từ số hạng nào đó trở đi.
Bài làm
a) Ta có |un|=|(−1)nn2+1|=1n2+1
Đặt vn=1n2+1
Ta có: lim. Do đó |v_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Vậy ta có |{{u}_{n}}|={{v}_{n}}=\left| {{v}_{n}} \right|. Vậy |u_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \lim {{u}_{n}}=0
b) Ta có: \left| {{u}_{n}} \right|=\left| \dfrac{{{2}^{n}}-n}{{{3}^{n}}+1} \right|<\dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}+1}
Đặt {{v}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}+1}
Ta có \lim {{v}_{n}}=\lim \dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}+1}=\lim \dfrac{{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n}}}{1+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n}}}=0
Do đó |v_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Vậy ta có |{{u}_{n}}|<{{v}_{n}}=\left| {{v}_{n}} \right|. Vậy |u_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \lim {{u}_{n}}=0