Giải bài 4.48 trang 173 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng Dẫn: Tính bằng định nghĩa.

- Tính \(|u_n|\). Chứng minh \(|u_n|\) nhỏ hơn một số dương bé bất kì từ số hạng nào đó trở đi.

Bài làm

a) Ta có \(|{{u}_{n}}|=\left| \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{2}}+1} \right|=\dfrac{1}{{{n}^{2}}+1} \)

Đặt \({{v}_{n}}=\dfrac{1}{{{n}^{2}}+1} \)

Ta có: \(\lim {{v}_{n}}=\lim \dfrac{1}{{{n}^{2}}+1}=0\). Do đó \(|v_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Vậy ta có \(|{{u}_{n}}|={{v}_{n}}=\left| {{v}_{n}} \right|\). Vậy \(|u_n|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {{u}_{n}}=0\) 

b) Ta có: \(\left| {{u}_{n}} \right|=\left| \dfrac{{{2}^{n}}-n}{{{3}^{n}}+1} \right|<\dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}+1} \)

Đặt \({{v}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}+1} \)

Ta có \( \lim {{v}_{n}}=\lim \dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}+1}=\lim \dfrac{{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n}}}{1+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n}}}=0 \)

Do đó \(|v_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Vậy ta có \(|{{u}_{n}}|<{{v}_{n}}=\left| {{v}_{n}} \right|\). Vậy \(|u_n|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {{u}_{n}}=0 \)