Giải bài 4.37 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
\(a) f(x)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}\,\,\text{nếu}\,\,x\ne \sqrt{2} \\ & 2\sqrt{2}\,\,\,\text{nếu}\,\,x=\sqrt{2} \\ \end{align} \right.\)
\( b) g\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{1-x}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\,\,\text{nếu}\,\,x\ne 2 \\ & 3\,\,\,\text{nếu}\,\,x=2 \\ \end{align} \right. \)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R} \)
Nếu \(x\ne \sqrt{2}\) thì \(f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-2}{\sqrt{x}-2} \)
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;\sqrt{2} \right)\) và \(\left( \sqrt{2};+\infty \right)\)
Với \(x=\sqrt{2}\), ta có:
\(f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2} \)
\(\lim_{x\to \sqrt{2}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to \sqrt{2}}\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}=\lim_{x\to \sqrt{2}}\limits\,\left( x+\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2} \)
Vậy hàm số liên tục tại \(x=\sqrt{2} \)
Kết luận: Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)
b)
TXĐ: \(D=\mathbb{R} \)
Với \(x\ne 2\) thì \(g\left( x \right)=\dfrac{1-x}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\)
Với \(x=2\), ta có:
\(f\left( 2 \right)=3 \)
\(\lim_{x\to 2}\limits\,\dfrac{1-x}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=-\infty \ne f\left( 2 \right)\)
Hàm số \(y=f(x)\) gián đoạn tại \(x=2 \)
Vậy hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;2 \right)\) và \(\left( 2;+\infty \right)\) nhưng gián đoạn tại \(x=2\).