Giải bài 4.37 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) 

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Nếu $x\ne \sqrt{2}$ thì $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-2}{\sqrt{x}-2}$

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;\sqrt{2} \right)$  và $\left( \sqrt{2};+\infty \right)$ 

Với $x=\sqrt{2}$, ta có:

$f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}$

$\lim_{x\to \sqrt{2}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to \sqrt{2}}\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}=\lim_{x\to \sqrt{2}}\limits\,\left( x+\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}$

Vậy hàm số liên tục tại $x=\sqrt{2}$

Kết luận: Hàm số liên tục trên $\mathbb R$

b)

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Với $x\ne 2$ thì $g\left( x \right)=\dfrac{1-x}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$

Với $x=2$, ta có:

$f\left( 2 \right)=3$

$\lim_{x\to 2}\limits\,\dfrac{1-x}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=-\infty \ne f\left( 2 \right)$

Hàm số $y=f(x)$ gián đoạn tại $x=2$

Vậy hàm số $y=f(x)$ liên tục trên các khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$  và $\left( 2;+\infty \right)$  nhưng gián đoạn tại $x=2$.