Giải bài 4.35 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \(x_0.\)
Chứng minh rằng nếu \(\lim_{x\to x_0}\limits \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L\) thì hàm số \(f(x) \) liên tục tại điểm \(x_0\).
Hướng dẫn:
Đặt \(g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}-L \)
Biểu diễn \(f(x)\) qua \(g(x)\) rồi chứng minh.
Bài giải
Đặt \(g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}-L \)
Ta có \(g(x)\) xác định trên \(\left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\) và \(\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,g\left( x \right)=0 \)
Mặt khác, \(f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+L.\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( x-{{x}_{0}} \right)g\left( x \right)\) nên
\(\begin{align} & \lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,\left[ f\left( {{x}_{0}} \right)+L\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( x-{{x}_{0}} \right)g\left( x \right) \right] \\ & =\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( {{x}_{0}} \right)+\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,L\left( x-{{x}_{0}} \right)+\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,\left( x-{{x}_{o}} \right).\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,g\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right) \\ \end{align} \)
Vậy hàm số liên tục tại \(x_0\)