Giải bài 4.26 trang 166 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;+\infty)\)
Chứng minh rằng nếu \(\lim_{x\to +\infty}\limits\,f(x)=-\infty\) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \((a;+\infty)\) sao cho \(f(c) < 0\)
Vì \( \lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( x \right)=-\infty\) nên với dãy số \((x_n\)) bất kì, \({{x}_{n}}>a \) và \({{x}_{n}}\to +\infty\) ta luôn có \(\lim_{x\to +\infty }\limits\,f\left( {{x}_{n}} \right)=-\infty\) . Do đó \(\lim_{x\to +\infty }\limits\,\left[ -f\left( {{x}_{n}} \right) \right]=+\infty \)
Từ định nghĩa suy ra \(-f\left( {{x}_{n}} \right) \) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \(-f\left( {{x}_{n}} \right)>1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({{x}_{k}}\in \left( a;+\infty \right)\) sao cho \(-f\left( {{x}_{k}} \right)>1\) hay \(f\left( {{x}_{k}} \right)<-1<0 \)
Đặt \(c={{x}_{k}}\), ta có \(f\left( c \right)<0 .\)