Giải bài 4.25 trang 166 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho khoảng \(K, \,x_0\in K\) và hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(K\backslash\{x_0\}\).
Chứng minh rằng nếu \(\lim_{x\to x_0}\limits f(x)=+\infty\) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(K\backslash\{x_0\}\) sao cho \(f(c) > 0\)
Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa về giới hạn vô cực.
Bài giải
Vì \(\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( x \right)=+\infty\) nên với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \({{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\) và \({{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\) ta luôn có \(\lim_{x\to +\infty }\limits\,f\left( {{x}_{n}} \right)=+\infty \)
Từ định nghĩa suy ra \(f\left( {{x}_{n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \( f\left( {{x}_{n}} \right)>1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({{x}_{k}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\) sao cho \(f\left( {{x}_{k}} \right)>1 \)
Đặt \(c={{x}_{k}}\), ta có \(f\left( c \right)>0 \)